원통형 압력용기의 응력과 두께 계산

원통형 압력용기가 터진 걸 본 적 있는가?

원자재의 결함이 없고 용접이 문제없이 완료된 원통형 압력용기가 터지면 통상 길이방향으로 파괴가 발생한다. 그 이유가 무엇인지 한 번 살펴보자.

 

본격적으로 들어가기 전에 응력의 개념부터 확인해야 하므로 다음의 글을 먼저 확인하자.

https://portsafety.tistory.com/7

응력과 외력 (feat. 응력의 단위)

 

https://portsafety.tistory.com/10

허용응력과 안전율 (feat. 사용응력, 기준강도)

 

 

압력용기란 유체의 압력이 내부 또는 외부에서 작용되는 밀폐용기로 그 목적에 따라 저장용(vessel, tank), 분리용(column, tower), 열교환용(heat exchanger), 반응용(reactor)으로 구분할 수 있다.

압력용기를 형태로 분류하게 되면 정말 다양한 형태로 분류할 수 있어 일일이 열거하긴 어렵고 그 중에서 원통형 압력용기의 응력과 두께를 계산하는 방법에 대해 알아보고자 한다.

원통형 압력용기는 Cylindrical Pressure Vessel로 부탄가스와 같은 작은 것부터 압축공기나 LPG를 저장하는 큰 탱크까지 다양한 목적으로 활용된다. 대기압 탱크(Atmospheric Tank)는 사각탱크로도 제작되지만 압력이 작용하는 용기의 경우는 주로 원통형으로 제작된다.

비눗방울을 불거나 풍선을 불면 동그란 구형태가 되는데 이것이 가장 인장응력이 작은 형태이기 때문이다. 바꾸어 말하면 구조적으로 가장 안전한 형태인 것이다. 그렇다면 왜 구형이 아니라 원통형일까? 이것은 공간 효율 때문이다. 구형이 원통형보다 더 큰 인장응력에 견딜 수 있지만 그렇게 제작된 용기를 설치하려고 하면 주위의 공간을 너무 많이 차지해서 버려지는 공간이 많게 된다. 또한 큰 구형의 용기를 제작하기 위해서는 반구체 2개를 용접해야 되는데 반구체를 제작하는 게 매우 까다롭다. (원통형 압력용기는 철판을 둥글게 말아서 용접만 하면 된다.)

이런 연유로 대부분의 압력용기는 경제적이고 실용적이며 효율적인 형태인 원통형 압력용기로 제작된다.

 

 

1. 원통형 압력 용기의 응력

 

원통형 압력용기에 작용하는 응력을 방향으로 나누면 크게 2가지의 응력이 작용하는 것을 알 수 있다.

 

먼저 후프(원주방향)응력과 축방향 응력이다. 훌라후프에서 알 수 있듯이 hoop(후프)는 링이나 둥근 테를 뜻한다. 따라서 후프응력은 원주방향으로 작용하는 응력이다.

축(axial)방향 응력은 원통형 압력용기의 길이방향으로 작용하는 응력을 뜻한다.

 

응력의 크기를 알기 위해서는 다음의 공식을 알고 있어야 한다.

 

응력은 압력과 같은 물리량이라고 하였다. 다만 압력은 표면에 작용하는 힘이고 응력은 내부에서 작용한다. 따라서 응력을 구하기 위해 얼만큼의 면적에 얼만큼의 힘이 작용하는지 알아야 한다.

그 힘을 알기 위해서는 용기의 내부에 얼만큼의 압력이 작용하는지와 면적이 필요하다. 이때 사용되는 면적은 투영면적으로 응력의 작용방향으로 빛을 비췄을 때 나타나는 그림자의 면적으로 보면 된다.

 

1) 원주방향 응력 (후프응력)

 

σt = 힘 / 면적 = PDL/2TL = PD/2T

 (1) 면적 = 두께 T가 길이 L에 걸쳐 작용되므로 TL이고 2개 이므로 2TL이 된다.

 (2) 힘 = 압력은 P이고 투영면적은 DL이 되어 PDL이 된다.

 (3) 위 식을 정리하면 원주방향 응력은 PD/2T가 된다.

 

2) 축방향 응력

 

σz = 힘 / 면적 = PπD2/4/πDT = PD/4T = 2σt

 (1) 면적 = 축방향 응력에서의 면적을 구할 때는 다음의 식이 적용된다.

 

 

원형의 용기를 폈다고 생각해보자. 그럼 용기의 내측의 길이는 πD가 되고 외측의 길이는 π(D+2T)가 된다. 이 면적을 구하려면 상당히 까다로운 계산법이 적용되어야 하므로 이를 단순화시키기 위해 T/D ≤ 1/10 일 경우(즉, 두께에 비해 직경이 클 경우) 축방향의 면적을 πDT로 한다.

(약간의 면적 감소가 이루어지지만 면적이 줄면 응력이 커지기 때문에 보다 안전한 방향으로 계산된다.)

 (2) 힘 = 압력 (P) x 투영면적 (πD2/4) = PπD2/4

(3) 위 식을 정리하면 원주방향 응력은 PD/4T가 된다.

 

위 내용을 정리하면 다음과 같다.

1) 원주방향 응력(σt) = PD/2T

2) 축방향 응력(2σz) = PD/4T = 2σt

 

압력용기 내부에 동일한 압력이 작용하고 있을 때 원주방향 응력은 축방향 응력보다 2배 크게 작용한다. 이에 따라 동일한 압력 P가 작용할 때 원주방향 응력이 크게 되고 내부 압력의 상승이나 폭발에 의해 용기가 파괴될 경우 원주방향으로 손상이 발생하게 되는 것이다.

 

 

2. 원통형 압력용기의 두께

 

위 식으로부터 원통형 압력용기의 두께를 구해보자.

원주방향 응력이 축방향 응력보다 항상 크게 작용하므로 압력용기의 두께를 계산할 때는 원주방향 응력 공식을 활용한다.

 

σ = PD/2T

T = PD/2σ 로 나타낼 수 있다.

 

그러나 이것만으로 압력용기의 두께를 정확하게 계산할 수 있는 것은 아니다. 추가적으로 고려해야 할 사항이 있다.

 

1) 안전율 (S) = 극한강도/허용응력

안전율은 서두에 기입한 포스팅에 자세히 나와있다. 안전율은 기준강도를 허용응력으로 나눈 값이다. 압력용기는 통상 탄소강으로 만들어지므로 탄소강은 기준강도를 극한강도로 사용한다. 따라서 선택된 재료의 극한강도를 허용응력으로 나누면 안전율이 된다. 안전율은 반드시 1보다 크거나 같아야 한다. 안전율은 국제규격에서 정한 값이 있다면 그것을 따르고 없다면 경험치나 reference를 적용한다.

 

2) 부식 (C)

부식은 전면부식에 의한 부식 여유치를 추가로 더하는 것이다. 국부부식은 반드시 방지되어야 하는 것이고 용기 전체에 나타나는 전면부식은 사용연수에 따라 나타나는 자연스러운 현상이기에 부식여유율을 더해서 계산한다. 이 때 압력용기의 design life가 고려되어야 한다.

 

3) 이음효율 (Є)

이음효율은 용기를 제작할 때 사용하는 용접이음에 대한 효율을 뜻한다. 이것은 반드시 1보다 작은 숫자로 적용되어야 한다. 부재를 용접으로 이음할 경우 이음새는 원래의 부재가 있는 곳보다는 약해지게 되므로 이음효율을 적용함으로써 안전한 방향으로 계산되게 하기 위함이다.

 

위 3가지 추가고려사항을 반영한 원통형 압력용기의 두께를 계산하는 식은 다음과 같다.

 

T = PD/2σ x S/Є + C

 

이음효율은 1보다 작은 수이므로 두께를 증가시키는 방향으로 적용하기 위해 분모에 넣어주는 것이고 안전율은 1보다 크거나 같기 때문에 분자에 넣는다. 부식여유율은 추가 상수이므로 해당 두께만큼 더해준다.

 

위 계산식에 따라 일정 두께가 나오게 되면 압력용기 제작에 필요한 철판 두께가 결정되는 것이고 T보다 큰 값의 철판을 선정하여 제작하면 된다.